例題7
1個60円の商品Aと1個80円の商品Bをそれぞれいくつか買ったところ合計代金が1400円でした。それぞれいくつ買いましたか。考えられる組み合わせをすべて求めなさい。例えば、Aが3個とBが5個であれば (3 , 5) のように答えなさい。
解説
AとBの合計の個数がわかっていればつるかめ算で1通りに求められますが、この問題では合計の個数がわかりません。どちらでもかまいませんが、高いほうの商品Bをできるだけたくさん買う場合を求めます。
ただし合計代金は1400円にならなければなりません。
1400÷80＝17個あまり40円
Bが17個の場合は40円あまります。40円ではAが買えないのでこの場合はあてはまりません。
ここでBを1個減らして16個にするとあまりは 40＋80＝120円 となります。
このとき 120÷60＝2個 となりAがちょうど2個買えて、あまりがでないのでこの場合はあてはまります。
よって答えの1つは (2 , 16) です。
次にBを2個減らして… と考えていけばすべての組み合わせを見つけることができますが時間がかかります。
ここで最小公倍数を利用します。
60と80の最小公倍数は240です。240÷60＝4個 , 240÷80＝3個
つまり、60円のAを4個増やして、80円のBを3個減らせば合計代金は1400円のまま変わらないということがわかります。
80円の商品Bがもっとも多い場合は (2 , 16) なのでAを4個増やしてBを3個減らしていきます。
(6 , 13) , (10 , 10) , (14 , 7) , (18 , 4) , (22 , 1) ← Bが1個になったのでこれ以上は減らせません。
よって全部で (2 , 16) , (6 , 13) , (10 , 10) , (14 , 7) , (18 , 4) , (22 , 1) の6通りです。
合計代金を変えずに個数を変える場合には最小公倍数を利用しましょう。このような方法は場合の数の問題でも頻出です。
このような問題を芋づる算(不定方程式)と呼びます。
