例題４
4つの整数があります。この4つの整数のうち2つを選んで和を求めたところ全部で 37 , 54 , 61 , 65 , 72 , 89 の6通りになりました。4つの整数をすべて求めなさい。 ただし組み合わせが複数ある場合はすべての組み合わせを求めなさい。
解説
4つの整数を小さい方から A , B , C , D とします。
4つのうち2つの和の問題なので、次のように2通りが考えられます。
① B+C が A＋Dより大きい場合
A＋B＝37 … 式１
A＋C＝54 … 式２
A＋D＝61 … 式３
B＋C＝65 … 式４
B＋D＝72 … 式５
C＋D＝89 … 式６
② A＋D が B＋C より大きい場合
A＋B＝37 … 式１
A＋C＝54 … 式２
B＋C＝61 … 式３
A＋D＝65 … 式４
B＋D＝72 … 式５
C＋D＝89 … 式６
どちらか一方は整数ではなくなってしまうので、もう一方が正しいという風に解くことがほとんどですが、どちらの場合でも正しく求められることがあります。このとき4つの整数の組合わせは1通りではありません。
①の場合
式１と式２より C＝B＋17 また式４より B＋C＝65 なので B＝(65－17)÷2＝24 , C＝24＋17＝41
このとき A＝37－24＝13 , D＝89－41＝48
よってこの場合は (A , B , C , D)＝(13 , 24 , 41 , 48)
②の場合
式１と式２より C＝B＋17 また式３より B＋C＝61 なので B＝(61－17)÷2＝22 , C＝22＋17＝39
このとき A＝37－22＝15 , D＝89－39＝50
よってこの場合は (A , B , C , D)＝(15 , 22 , 39 , 50)
