例題１
50人の生徒が算数と国語のテストを受けました。算数と国語が両方とも70点以上だった人は12人で、算数と国語がともに70点未満だった人は10人でした。また、算数だけが70点以上だった人と国語だけが70点以上だった人の人数は同じでした。算数が70点以上だった人は何人ですか。解説
ベン図で整理します。ベン図をもちいる問題を集合算と呼ぶことがあります。ベン図について基礎を確認しておきます。簡単な例
20人のうちイヌを飼っている人は12人、ネコを飼っている人は5人です。またどちらも飼っていない人は11人です。イヌだけ飼っている人は何人ですか。下のベン図のように重なったウの部分がイヌとネコを両方飼っている人です。
どちらも飼っていないのは11人なので少なくともどちらか一方を飼っている人は 20－11＝9人
イヌを飼っている人とネコを飼っている人を足すと 12＋5＝17人 なので 重なったウの部分は 17－9＝8人 です。よってイヌだけ飼っている人(アの部分)は 12－8＝4人 であることがわかります。
「少なくともどちらか一方を飼っている」というのは「イヌだけを飼っている」か「ネコだけを飼っている」か「イヌもネコも飼っている」の合計です。「どちらか一方だけを飼っている」であれば「イヌだけを飼っている」か「ネコだけを飼っている」の合計です。両方とも飼っている人は数えません。
小学生にとってこのような表現はわかりづらいですが、ベン図のどの部分であるかをしっかりと理解しておきましょう。
では例題１の解説にもどります。
算数と国語が両方とも70点以上だった人は12人なので、重なった部分が12人ということがわかります。
算数と国語がともに70点未満だった人は10人なので円の外側の部分は10人です。
算数だけが70点以上だった人と国語だけが70点以上だった人の人数は同じなので、この部分をアとするとベン図は次のようになります。
ア×2＋12＋10＝50人 なので ア×2＝28人 よって ア＝14人
算数が70点以上だった人は 14＋12＝26人
算数と国語の少なくともどちらか一方が70点以上だったのは ア×2＋12＝40人
算数と国語のどちらか一方だけが70点以上だったのは ア×2＝28人
70点未満というのは70点より下ということなので69点以下ということになります。
以上・以下・より大きい・より小さい・未満 などの表現で迷わないようにしておきましょう。
